我是晨曦小荷，我来回答这个问题，
首先纠正一下题主的问题，佛教是产生在古印度地区，今尼泊尔和藏南地区，不是今天印度的，广泛来说，大中华概念下的佛教。在古代印度是一个地理概念的时候更多一点。佛陀是黄种人，所以黄种人更容易接纳他的学说，我在以前的问答里有所阐述。
佛教是如何传入中土的呢？从时间来说漫长，从地域上广泛来说，大体来说有南北两条道路，南传和北传。
南传是从印度地区，因为当时佛教在印度地区也曾广为流传，具体我们就不说印度的哪个部分了，然后走斯里兰卡、东南亚，或下缅甸到云南，或走海路到广州，主要是上部座佛教，最有名的来华僧侣：达摩祖师。
北传的就相对复杂一点，大致有两个路线，一个是从古丝绸之路，一个是从尼泊尔、藏南进入西藏高原而下。而从古丝绸之路传来的佛教对中原影响最大。后者对西藏、青海、内蒙、漠北、新疆、东北等地区的佛教影响较大。
两汉之际，佛教渐渐从西域传入中原，汉明帝时期，摄摩腾、竺法兰白马驮经来到洛阳觐见汉明帝，并且领旨建造白马寺，译出佛经《四十二章经》，佛教算是正式进入中国。之后一直到唐朝，天竺僧人不断地来到中国传教译经，比较著名的，比如鸠摩罗什；中国僧人也不断地去天竺取经学法，比如法显、玄奘等等。佛教在天竺地区不断的演变，同时在中国也不断地本土化，可以说佛教最终中原化了。相反在古印度却慢慢式微了。这一时期的佛教就是汉传佛教的大概形成过程。期间，也有中国僧人和外国使团把唐密（东密）传播到朝鲜和日本，最有名的就是鉴真大和尚，使得汉传佛教遍布东亚。
在西藏吐蕃时期，藏传佛教逐渐进入雪域高原，并且逐步取得统治地位，据说是莲花生大师传入，并且结合西藏本地宗教文化，比如苯教，形成了藏传佛教。其中有松赞干布迎娶文成公主和尼婆罗公主尺尊公主（待考）。至今藏传佛教有几大派别，简单说就是红（宁玛派）、黄（格鲁派）、白（噶举）、花（萨迦派）。另有噶当派某种意义上是格鲁派的前身。藏传佛教后来比较有标志性的人物，八思巴大师，萨迦派，元世祖的帝师，使得藏传佛教极大发展；宗客巴大师，集各家大成，创立格鲁派，使得该派为藏传佛教最大派别。达赖和班禅两个系统的活佛都出自格鲁派，是宗客巴大师的弟子。清朝时期（林丹汗初宗黄教后改宗红教，蒙古漠南漠北诸部多信奉黄教与满清统治高层相对一致），对民族宗教政策相对宽容，主张藏传佛教在汉地以外，汉地佛教在蒙藏满以外。如今我们新社会，主张宗教信仰自由，各个合法的宗教团体要为社会主义事业贡献力量，在合法的前提下进行正当的宗教活动。
具体分宗，我们国家的汉传佛教还分许多宗派，比如通常所说的性、相、台、贤、禅、净、律、密八大宗派，主要是空和有两种的纷争，或者兼而有之。这里就不细说了。佛教最终在中华大地开花结果，可以说现代佛教是中国的。
一家之言，多有偏颇，万望海涵，只为交流和分享，不为纷争，请多理解。
如果您喜欢我的文字，请关注我，一起分享更多的问答。
这里说的佛教是“汉传佛教”。至于藏传佛教的历史，则与汉传佛教的传播过程不同。一般认为，佛教入华是汉朝发生的事情。在汉明帝永平八年（65），楚王刘英奉佛，“学为浮屠斋戒祭祀”。汉明帝称赞刘英：
尚浮屠之仁祠，絮斋三月，与神为誓。
此后，永平十年（67）迦叶摩腾与竺法兰用白马驮经，来到了中国。于是，在佛教的历史中，就以这一年作为佛教入中国的标志。
例如，唐朝文学家韩愈的《论佛骨表》就提到：“佛者，……自后汉时流入中国……汉明帝时始有佛法。”
下面这张《白马驮经图》描绘的就是佛教入华的标志事件的场景：
根据《后汉书·西域传》的记载：
世传明帝梦见金人，长大，顶有光明，以问群臣。或曰：“西方有神，名曰佛，其形长丈六尺而黄金色。” 帝于是遣使天竺问佛道法。
由此可见，古代确实普遍人为是汉明帝时期正式引入佛教。
当然，也有一些说法是在汉朝前或者西汉末年，佛教就已经进入中国。但这种说法只是供人参考，无法推翻上述观点。
此外，迦叶摩腾与竺法兰两位高僧带着佛教入中国后，汉明帝派人修建房屋给他们居住，日后就变成了中国的第一座佛寺——白马寺。
总而言之，这是汉朝时期的事情。